Магические числа и загадочные корниИспользование метода прогнозирования с помощью радиус-векторов накладывает на себя некоторые сложности. Там, где в расчет идет время и появляются углы необходимо обязательно приводить график к какому-то балансу. У Ганна это называло квадрирование графика (диапазона /цены). В майских своих публикациях я уже указывал на важность этого момента, и предложил первый вариант манипуляций с графиком на примере равностороннего треугольника. В прошлый раз я не квадрировал, а просто приводил к определенному углу первый вектор и от него уже строил остальные. Это второй вариант. Есть еще третий вариант, динамического изменения угла, его я рассмотрю в одном из следующих видео.
А сегодня немного про магические числа корень из 2,3,5 пи и другие. Почему именно эти соотношения следует использовать, как их использовать и при чему тут Фибоначчи с его пропорциями – вот тема сегодняшней публикации. Сухая теория. Это чтобы вы понимали откуда "ноги растут"
Спираль квадратного корня (или «Колесо Теодора», или «Спираль Эйнштейна», или «Спираль Вурцеля») — очень интересная геометрическая структура, в которой квадратные корни всех натуральных чисел имеют четко очерченную пространственной ориентации друг к другу. Это позволяет внимательному наблюдателю обнаружить множество взаимозависимостей между натуральными числами, применяя методы графического анализа. Следовательно, спираль квадратного корня является объектом исследования для всех специалистов, работающих в области теории чисел!
Вот первое впечатляющее изображение спирали квадратного корня:
Это рисунок из публикации Гарри К. Ханна Упорядоченное распределение натуральных чисел на спирали квадратного корня
Простые числа также явно накапливаются на таких спиральных графиках.
А квадратные числа 4, 9, 16, 25, 36… образуют в высшей степени трехсимметричную систему трех спиралевидных графов, которые делят спираль квадратного корня на три равные области. Математический анализ показывает, что эти спиральные графы задаются квадратичными полиномами.
Спираль квадратного корня — это геометрическая структура, основанная на трех основных константах: 1, sqrt2 и пи
Последовательности чисел Фибоначчи также играют роль в структуре спирали квадратного корня. Фибоначчи числа делят спираль квадратного корня на площади и угловые сектора с постоянными пропорциями. Эти пропорции связаны с «золотой серединой» (золотым сечением), которая ведет себя как константа самоизбегания в решетчатой структуре спирали квадратного корня. (в конце статьи подробнее)
Самым удивительным свойством спирали квадратного корня, несомненно, является тот факт, что расстояние между двумя последовательные витки Спирали с квадратным корнем быстро стремятся к хорошо известной геометрической константе пи (3,14) (для гурманов могу привести математическое доказательство, что это утверждение верно)
Разница длин двух «корневых лучей» которые считаются примерно на одну намотку спирали квадратного корня
Спираль (намотка) 2
Корень(21) - Корень(2) = 3,168
Корень (24)-Корень (3) = 3,167
Корень (29)-Корень (5) = 3,149
……
Корень(53) – Корень(17) = 3,15
Спираль (намотка 3)
Корень 58-Корень 20 = 3,14
И т.д.Чем больше спираль, тем ближе к соотношению Пи (3,1415926)
В пятой спирале, например Корень (268)-Корень (175) – 3,14195
Еще одним поразительным свойством спирали квадратного корня является тот факт, что квадратные корни всех квадратных чисел ( 4, 9, 16, 25, 36… ) лежат на 3 высокосимметричных спиральных графах, которые делят спираль квадратного корня на три равные площади (см. рисунок выше: графики Q1, Q2 и Q3 выделены зеленым цветом). Для этих трех графиков применяются правила:
1. Угол между последовательными Квадратными Числами (на «спирали Эйнштейна») стремится к 360 °/пи для Корень ( X ) стремится в ∞
2. Угол между квадратными числами на двух последовательных витках «спирали Эйнштейна».
3. стремится к 360° - 3x( 360°/пи ) для корень( X )стремится в ∞
Доказательство правильности этих утверждений привести не сложно.
Теперь начинаем потихоньку включать пространственное мышление, оно нам понадобится еще очень долго, на протяжении всех последующих публикаций.
Спираль квадратного корня развивается из прямоугольного треугольника в основании (P1) с двумя катетами. имеет длину 1, а длинная сторона (гипотенуза) имеет длину, равную квадратному корню из 2.
Спираль квадратного корня формируется путем дальнейшего добавления прямоугольных треугольников к базовому треугольнику P1 (см. рис. 4).
При этом более длинные катеты следующих треугольников всегда прилегают к гипотенузам предыдущего треугольника. Треугольники и более длинный катет следующего треугольника всегда имеет ту же длину, что и гипотенуза первого треугольника, предыдущего треугольника, а более короткая сторона всегда имеет длину 1.
Таким образом развивается спиральная структура, в которой спираль создается более короткими сторонами треугольников, которые имеют постоянную длину 1 и где длины радиальных лучей (или спиц), исходящих из
центром этой спирали являются квадратные корни натуральных чисел ( sqrt 2 , sqrt 3 , sqrt 4 , sqrt 5 …. ).
Вот почему я использую Радиусы 1,41 ; 1,73; 2 ; 2,23 (маленький пример в конце, а так их много в предыдущих публикациях)
Смотрим рис 4
Особым свойством этой бесконечной цепочки треугольников является то, что все треугольники также связаны через теорему Пифагора о прямоугольном треугольнике. Это означает, что существует также логическая связь между воображаемыми квадратами, которые можно соединить с катетами и гипотенузами этого бесконечной цепочки треугольников ( все площади квадратов кратны площади основания 1 , и площади этих квадратов представляют собой натуральные числа N = 1, 2, 3, 4,…..) см. РИС. 2 и 3. Это важное свойство
Спираль квадратного корня, которая когда-нибудь может оказаться «золотым ключом» к теории чисел!
Далее Рисунок 5
Здесь показано дальнейшее развитие спирали квадратного корня или «спирали Эйнштейна», если один прямоугольный один треугольник за другим добавляются к растущей цепочке треугольников, как описано на рис. 4.
Длина гипотенуз этих треугольников
которые представляют собой квадратные корни из натуральных чисел от 1 до почти 300, имеет точность 8 знаков после десятичной точки. Таким образом, точность спирали квадратного корня, используемой для дальнейшего анализа, может считаться очень высокой чистую спираль квадратного корня привожу ниже
Длины радиальных лучей (или спиц), исходящих из центра спирали квадратного корня, представляют собой квадратные корни натуральных чисел ( n = { 1, 2, 3, 4,...} ) относительно длины 1 катетов треугольника с основанием P1 (см. рис. 4). А сами натуральные числа можно вообразить площадями «воображаемые квадраты», которые остаются вертикально на этих «прямокоренных лучах». см. РИС. 5 (сравните с РИС.3)
«Квадратные корневые лучи» спирали Эйнштейна можно просто рассматривать как проекцию этих пространственно упорядоченных «воображаемых квадратных областей», показанные на рис. 5, на двумерную плоскость.
________________________________________________
Распределение квадратов чисел 4, 9, 16, 25, 36, ... на спирали квадратного корня:
Квадратные корни квадратных чисел 2 (1), 4, 9, 16, 25, 36, 49,… лежат в 3 областях, которые расположены очень симметрично вокруг центр спирали квадратного корня.
Вот сами квадратные числа могут быть представлены упомянутых воображаемых квадратных областях, которые остаются вертикально на «прямокоренных лучах» см рис 6
И квадратные корни квадрата числа, то есть числа 1, 2, 3, 4, 5, 6,… — «лучи квадратного корня», которые
образуют базовые линии этих воображаемых квадратичных площадей.
Только квадратные корни квадрата числа являются целыми числами или натуральными числа 3
Вот почему 3-симметричное распределение эти числа на спирали квадратного корня должно иметь важное значение!
Особенно, если учесть, что Корневая спираль точно разделена на 3 равные части площади по квадратным числам!
Список важных свойств трех спиральных графов, содержащих квадратные числа:
Квадратные числа лежат на 3 высокосимметричных спиральных графиках с положительным направлением вращения (нарисовано зеленым цветом).см. РИС. 1 Эти 3 спиральных графика определяются следующим образом:
3 квадратных полинома:
Q1 = 9X*Х + 6Х+1
Q2=9Х*Х+12Х+4
Q3=9Х*Х+18Х+9
3 спиральных графика Q1 – Q3 расположены под углом около 120° друг к другу (см. центр спирали квадратного корня)
Это применимо:
Q1 содержит квадратную последовательность чисел 1, 16, 49, 100, 169,… (квадратный корень из этих чисел: 1, 4, 7, 10, 13 следовательно разность = 3)
Q2 содержит квадратную последовательность чисел 4,25,64,121,196,… (квадратный корень из этих чисел: 2,5,8,11,14 следовательно разность = 3)
Q3 содержит квадратную последовательность чисел 9,36,81144,225 (квадратный корень из этих чисел: 3,6,9,12,15 следовательно разность = 3)
3 спиральных графика Q1 – Q3 расположены под углом около 120° друг к другу (см. центр спирали квадратного корня)
РИС. ниже показывает точную геометрию спирального графа Q1:
Угол между последовательными квадратными числами на спирали квадратного корня («спираль Эйнштейна»)
стремится к 360°/пи при sqrt( X ) стремится ∞
Угол между квадратными числами на двух последовательных витках спирали квадратного корня.
("Спираль Эйнштейна") стремится к 360° - 3x(360°/пи ) при sqrt(X) стремится в ∞
Вычисление разностей последовательных квадратных чисел, лежащих на одной из трех спиралей, а затем далее вычисление разностей этих разностей приводит к постоянному значению 18 для трех спиральных графов (квадратичных многочленов) Q1 – Q3.
( см. разностные значения на РИС.1 рядом с названиями спиральных графов Q1 – Q3 )
3 спиральных графика, содержащие квадратные числа, делят спираль квадратного корня точно на 3 равные площади.
Следующий анализ также может быть использован в качестве первого приближенного доказательства правильности этого предложения:
Сначала вычисляем площади рисунок выше, которые лежат между квадратом корней квадратных чисел. см. первые три такие области на спирали квадратного корня отмечено зеленым, желтым и красным цветом на рисунке. Тогда мы всегда вычисляем отношение двух таких последовательных области.
При корень(х) стремящегося к ∞ результирующее отношение стремится к значению 1 в бесконечности, естественно. Это первое приближение указывает что спираль квадратного корня можно точно разделить на 3 равные площади по квадратным числам!
Для углов между «лучами квадратного корня» из квадратных чисел может быть аналогичное приближение сделанного как для областей
_________________________________________________________
Распределение натуральных чисел, делящихся на простые множители 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…
По сравнению с квадратными числами, лежащими на трех отдельных спиральных рукавах, расположенных симметрично расположенных
вокруг центра спирали квадратного корня, все остальные натуральные числа лежат на «спиральном графике системы» , состоящие из более чем одного спирального рукава.
Здесь натуральные числа, делящиеся на простые множители 2, 3, 5, 7, 11, лежат более чем на одном из этих упомянутых «спиральных графических систем» с положительным или отрицательным направлением вращения соответственно. Натуральные числа, делящиеся на простой множитель 13, лежат только в одной системе спиральных графов с положительным направление вращения, а на двух спиральных графах с отрицательным направлением вращения. И все натуральные числа, делящиеся на простые множители ≥ 17, лежат только на одной системе спиральных графов с положительным или отрицательным направлением вращения.
Следующее изображение показано, например, распределение натуральных чисел, делящихся на 11, на Спираль квадратного корня. Здесь все числа, делящиеся на 11, отмечены желтым цветом.
Распределение натуральных чисел, делящихся на простой множитель 11:
Как упоминалось ранее, если я сейчас говорю о расположении чисел, делящихся на 11, на спирали квадратного корня, на самом деле я имею в виду воображаемые квадратные области, которые остаются вертикальными на определенных радиальных лучи спирали квадратного корня. Натуральные числа, делящиеся на 11, представлены этими мнимыми квадратных площадей (как объяснялось выше). Однако в этом анализе мы рассматриваем только проекции эти воображаемые квадратные области (= радиальные лучи) на двумерную плоскость для упрощения.
Из изображения видно, что (квадратный корень из ) натуральных чисел, делящихся на 11 (отмечено
выделены желтым цветом) лежат на определенных спиральных графах, начальная точка которых находится в центре квадрата или рядом с ним.
Корневая спираль. Эти спиральные графики имеют либо положительное, либо отрицательное направление вращения.
Спиральный граф, который имеет направление вращения по часовой стрелке, будет называться отрицательным (N), а спиральный граф который имеет направление вращения против часовой стрелки, называется положительным (P).
Зеленые спиральные графики показывают три спиральных графика, которые содержат квадратные числа 4, 9, 16, 25, 36, …
которые нарисованы только для справки!
Аналогично старятся графы с распределением натуральных чисел делящихся, например на 7 и другие.
Что вызывает описанные системы спиральных графов?
«Спиральные графики, показанные на выше вызваны квадратичными полиномами.
В принципе каждый квадратичный многочлен вызывает последовательность радиусов, которая принимает архимедиан спиралевидный курс, отмеченный на спирали квадратного корня ! И угол спирали этого созданного таким образом спирального графа сходится! “
Обещанный небольшой пример. Это кукуруза. Вернее начало восходящего тренда. Про нее (кукурузу) следует отдельное видео снять. Очень показательный график, разобравшись с ним будет не проблема смотреть другие графики.
Видим три вектора. Сначала зеленый, потом черный и синий. первые два я объединил в общий - красный. А два черных последовательно идущих в синий вектор.
Так вот. длина красного = корень из 3 * на длину зеленого
Длина синего = корень из 3*длину черного и, кроме этого корень из 2*длину красного
Сама формация вращается вокруг некой точки вращения - на графике центр вращения. и состоит из двух восходящих движений с коррекцией коричневый вектор длиной L
Так вот, если эту L умножить на число пи (3,14) получим радиус окружности в центре которой точка вращения.
_______________________________ГЕОМЕТРИЯ ФИБОНАЧЧИ______________________
Все знают про числа Фибоначчи.
Они бывают работают, а бывает что и нет. Бывает работает соотношение 38% бывает 50% бывает 62… когда как. Но есть ли в этом закономерность. Если есть то как ее найти, да и вообще кто они такие эти числа. Начнем с последнего вопроса. Уверен, что ваши познания ограничены только рядом этих чисел и красивой картинкой человека, вписанного в эти числа.
Распределение чисел Фибоначчи на спирали квадратного корня:
«Математическое происхождение естественных последовательностей Фибоначчи и периодическое распределение главные факторы в этих последовательностях».
Последовательности чисел Фибоначчи, кажется, играют важную роль в структуре спирали квадратного корня.
Числа Фибоначчи делят спираль квадратного корня на области, пропорции которых стремятся к постоянному соотношению : корень (х) стремится к бесконечности
А отношение углов двух таких последовательных площадей на Спирали квадратного корня стремится к постоянному
число в бесконечности тоже!
В обоих случаях это соотношение тесно связано с «золотой серединой» (или золотым сечением, или золотым сечением).
Возникновение этих соотношений указывает на то, что существует особая связь между квадратным корнем спирали и последовательности Фибоначчи!
Если мы отметим квадратные корни чисел Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… на спирали квадратного корня и затем измерьте углы между квадратными корнями чисел 1 и 2, 2 и 3, 3 и 5, 5 и 8, 8 и 13, 13 и 21 …и так далее, то в результате получим следующие углы:
α1 = 45° ; α2 = 35,26° ; α3 = 56,57° ; α4 = 67,01° ; α5 = 88,34° ; α6 = 111,40° и тд
Если мы теперь вычислим отношения последовательных углов, мы получим следующие отношения в результате:
0,784 ; 1604; 1185:1318; 1261 и т. д.
Легко видеть, что это отношение быстро приближается к постоянному числу для Спирали квадратного корня, которую я использую для анализа Эта константа уже известна как «самоизбегающая константа блуждания 1,272…» см. книгу «Математические константы» Стивена Р. Финча.
Отношение площадей между последовательными числами Фибоначчи отношение площадей это еще одна константа причиной вышеупомянутого предположения является значение константы для пропорций области между квадратными корнями чисел Фибоначчи.
Поскольку пропорции площадей также стремитесь к константе, которая, по-видимому, также связана с «золотым сечением»!
Мы снова отмечаем квадратные корни чисел Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… на спирали квадратного корня.
Затем мы вычисляем площади между этими отмеченными квадратными корнями (области, отмеченные красным, зеленым, синим и т. д.)
И если мы теперь вычислим отношения между последовательными отмеченными областями, как показано ниже, то мы получим следующие соотношения в результате: 1,4114, 2,6389, 1,9644, 2,1512, 2,055 …
Соотношение между последовательными площадями стремится к постоянному числу для корень(х) стремится в бесконечность. Была вычислена эта константа со следующей точностью 2,05819+- 0,0003
Это «константа отношения площадей» -F1.
(Здесь F1 означает последовательность Фибоначчи 1).
Как упоминалось ранее: эта константа тесно связана с золотой серединой (золотым сечением)!
Спираль квадратного корня (или спираль Эйнштейна) показывает взаимозависимость между натуральными числами и визуальный способ. Поэтому его можно считать своего рода визуальным представлением теории чисел!
Благодаря чисто графическому анализу этой удивительной структуры высшая логика (пространственного) распределения-
натуральные числа (и специальные подгруппы, такие как квадратные числа или простые числа) выявляются и очень легко понять, потому что это видно на графиках !!
В следующей публикации я намерен вновь вернуться к 3-м векторам и S- модели движения и объединить эти два знания, а так же дополнить новой моделью, в которой рассмотреть обсуждаемые сегодня пропорции на примере более детального изучения графика кукурузы, которой уже чуть коснулись сегодня.
Дадим фигурам треугольник, квадрат и окружность объем - и рассмотрим переход из одной фигуры в другую в объёме. Попытаемся визуально им придать вращение и посмотрим что получится
